miércoles, 6 de octubre de 2010

25º - Olimpiada Iberoamericana de Matemática - P1

Problema 1:

Hay diez monedas en una línea, indistinguibles entre sí. Se sabe que dos de ellas son falsas y tienen posiciones consecutivas en la línea. Para cada conjunto de posiciones, usted puede preguntar el número de monedas falsas que contiene. ¿Es posible identificar las monedas falsas haciendo sólo dos de estas preguntas, sin saber la respuesta a la primera pregunta antes de hacer la segunda?


Solución:

Sean las monedas M1; M2; …. ; M10 y para cada n = 1; 2; … ; 9 sea Xn ={M n ; Mn+1}

Luego sabemos que Xn tiene las dos monedas falsas para algún “n”

Probaremos que mediante dos preguntas es posible saber cuáles son las dos falsas

Sea S el conjunto que contiene las 10 monedas y dos subconjuntos de S:

S1 = {M4; M7; M8; M9; M10} y S2 = {M1; M5; M6; M7; M8},

luego preguntamos cuántas monedas falsas hay en S1 y S2.

Para las posibles respuestas tenemos la solución respectiva:

(0; 0) entonces M2; M3 son las monedas falsas

(0; 2) entonces M5; M6 son las monedas falsas

(1; 0) entonces M3; M4 son las monedas falsas

(1; 1) entonces M4; M5 son las monedas falsas

(1; 2) entonces M6; M7 son las monedas falsas

(2; 0) entonces M9; M10 son las monedas falsas

(2; 1) entonces M8; M9 son las monedas falsas

(1; 1) entonces M7; M8 son las monedas falsas

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