domingo, 24 de octubre de 2010

¿Es cero natural?


Si y no. Incluir o no el número al conjunto N de los números naturales es una cuestión de preferencia personal o, más objetivamente, de convrniencia. El mismo profesor o lector puede, en diferentes circunstancias, escribir 0 en N o 0 no en N. ¿Cómo asi?
Consultemos un tratado de Álgebra. Praticamente en todos ellos encontramos N = {0, 1, 2,...}. Vemos un libro de Análisis y hallarmos que siempre N = {1, 2, 3,...}
¿Por qué esas preferencias? Es natural que el autor de un libro de Álgebra, cuyo principal interes es el estudo de las operaciones, considere cero como un número natural pues esto le dará un elemento neutro para la adición de números naturales y permitirá que la diferença x - y seja uma operación válida en N no solamente cuando x > sino que también si x = y.
Asimismo, cuando el algebrista considera cero como número natural, está facilitando su vida, eliminando algunas excepciones.

Por otro lado, en Análisis, los números naturales ocurren mucha frecuencia como índices de términos de una sucesión. Una sucesión (digamos, de números reales) es una función x: N en R, cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales. El valor que una función x asume para el número natural n es indicado con la notación xn (en vez de x(n)) y es llamado el “n-ésimo termino” de la sucesión.
La notación (x1, x, ... xn,...) es usada para representar la sucesión. Aquí, el primer termino es x1, el segundo es x2, y así sucesivamente. Si consideramos N = {0, 1, 2, ...} entonces la sucesión sería (x0, x1, x2,... xn,...), la cual el primer termino es x0, el segundo es x1, etc. En general, xn no sería el n-ésimo y si el (n+1)-ésimo termino. Para evitar esa discrepancia, es mas conveniente tomar el conjunto de los números naturales como N = {1, 2, 3,...}.
Para terminar este tópico, una observación sobre la nomenclatura matemática. No llevemos la discusión en sentido de examinar si el número cero es o no “natural” (en oposición a “artificial”). Los nombres de los objetos en Matemática no son generalmente escogidos de modo que transmitan una idea sobre lo que deben ser esos objetos. Los ejemplos abundan: un número “ imaginario” no es mas ni menos existente que un número “real”; “grupo” es una palabra que no indica nada sobre su significado matemático y, finalmente, “grupo simples” es un concepto extremadamente complicado; es decir no debemos tomar el nombre "al pie de la letra"