martes, 7 de diciembre de 2010

Problemas sobre sumatorias - Olimpiadas de matemáticas - 01



Problema 1 . Demostrar la identidad siguiente suma de n términos:

1.2.2 + 2.3.4 + 3.4.8 + … + n(n+1)2n = 2n (2n2 – 2n + 4) – 4


Solución:


Por inducción matemática:

Para n = 1: 1.2.2 = 2(2 - 2 + 4) = 4. Cumple para n = 1.

Supongamos cierto para n Î N ; es decir:

1.2.2 + 2.3.4 + 3.4.8 + … + n(n+1)2n = 2n (2n2 – 2n + 4) – 4

Luego, agregando (n+1)(n+2)2n+1 a ambos lados, el lado derecho se convierte
en:

2n (2n2 – 2n + 4) – 4 + (n+1)(n+2)2n+1

= 2n (n2 – n + 2 + (n+1)(n+2) ) – 4

= 2n (2n2 + 2 n + 6) – 4

= 2n (2(n+1)2 – 2(n+1) + 4) – 4

Es decir cierto para n implica cierto para n + 1. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, es cierto para todos los n Î N.


Problema 2: Demuestre que

12 - 22 + 32 - 42 + ... + (-1)n-1.n2 = (-1)n-1 . [n(n+1)]/2

Solución:

Lo podemos solucionar al considerar dos casos: n par y n impar

Caso 1: número par de términos

E = (12 + 22 + … + n2) – 2.(22 + 42 + … + n2 )


= (12 + 22 + … + n2) – 8.(12 + 22 + … + (n/2)2 )


= n(n+1)(2n+1)/6 – 8(n/2)[(n/2)+1)][2(n/2)+1]/6


= n(n+1)(2n+1)/6 – n[n +2][2n +2]/6


= [(2n+1) – (2n+4)].n(n+1)/6


= [-3].n(n+1)/6 = [-1]n-1.n(n+1)/2


Caso 2: número impar de términos


E = (12 + 22 + … + n2) – 2.(22 + 42 + … + (n-1)2 )


= (12 + 22 + … + n2) – 8.(12 + 22 + … + [(n-1)/2]2 )


= n(n+1)(2n+1)/6 – 8((n-1)/2)[(n-1)/2+1)][2(n-1)/2+1]/6


= n(n+1)(2n+1)/6 – (n-1)[n+1][2n]/6


= [(2n+1) – (2n-2)].n(n+1)/6


= [3].n(n+1)/6 = [-1]n-1.n(n+1)/2


Por lo tanto:

12 - 22 + 32 - 42 + ... + (-1)n-1.n2 = (-1)n-1 . [n(n+1)]/2, para todo natural n


Problema 3. Si p y q son números enteros positivos tales que

(p/q) = 1 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/5 - 2/6 + 1/7 + 1/8 - 2/9 + 1/478 + 1/479 - 2/480


demostrar que p es divisible por 641

Solución:

La suma se puede escribir como



Por lo tanto

eq=S=\sum_{k=1}^{320}\frac{1}{k+160}

Luego al sumar los términos equidistantes tenemos:


{1\over k+160}+{1\over 481-k}={641\over (k+160)(481-k)}

y luego la conclusión es obvia.

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