miércoles, 8 de diciembre de 2010

Problemas sobre Sumatorias: Olimpiadas de matemáticas 02

Problema 4

Halle una expresión cerrada para

Sn = å Sen2(kq); 1 £ k £ n

Solución:

Tenemos


2Sen2(kq) = 1 – Cos(2kq)

Þ 2.Sn = 2.å Sen2(kq) = å(1 – Cos(2kq))

Þ 2.Sn = n – å Cos(2kq) = n – E

Ahora, hallemos E:

2Senq. E = 2Senq.å Cos(2kq) = å 2SenqCos(2kq)

= å[Sen(2k + 1)q – Sen(2(k – 1)+1)q]

= Sen(2n + 1)q – Sen(q)

= 2.Sen(n)q.[Cos(n + 1)q ]

Þ E = Sen(n)q.[Cos(n + 1)q] /Senq


Finalmente:


Sn = å Sen2(kq) = (1/2)[n – Sen(n)q.[Cos(n + 1)q] /Senq]


Problema 5

Evaluar la suma

å [(2n+3)/n(n+1).3n] = 5/(1.2.3) +7/(2.3.9) +9/(3.4.27) + … n términos


Solución:

Tenemos

(2n+3)/n(n+1).3n = 1/[k.3k–1] – 1/[(k+1).3k]

Þå [(2n+3)/n(n+1).3n] = 1 – 1/[(n + 1).3n]


Problema 6

Halle la suma

12(n 1) + 22(n 2) + 32(n 3) + … + n2(n n)


Solución:


Tenemos

(x + 1)n =å(n k).xk ; 0 £ k £ n; derivando respecto a x:

n.(x + 1)n–1 =å(n k).k.xk –1 ;

Þ x .n.(x + 1)n–1 =å(n k).k.xk ; derivando nuevamente:

n(n – 1).(x + 1)n–2 + n.(x + 1)n–1 = å(n k).k2.xk –2 ;

Reemplazando x = 1:

å(n k).k2 = 12(n 1) + 22(n 2) + 32(n 3) + … + n2(n n) +…

= n(n + 1).2n /4