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martes, 7 de diciembre de 2010

Triángulo 36º - 72º y número áureo






El triángulo 36º - 72º es muy interesante, pues además de ser isósceles al trazar la bisectriz interior de un ángulo congruente, se obtiene otro triángulo semejante al original, es decir otro triángulo 36º - 72º




















Es decir se obtiene tres segmentos congruentes tal como lo indica la figura siguiente, pues curiosamente se obtiene tres triángulos isósceles.



















Ahora veamos como aparece el número áureo en este triángulo notable; para ello asignemos 1u. de medida al menor segmento y x u. a los tres segmentos congruentes, tal como lo indica la siguiente figura.

Luego por semejanza de triángulos tenemos la igualdad siguiente:

x / y = 1 / x

y = x2

Þ x + 1 = x2






Es decir


el número áureo F



Ahora nuestro triángulo lo podemos escribir en términos del número áureo, tal como lo indica la figura siguiente:

Luego:

Sen(18º) = (F/2)/(F + 1)

= (F/2)/(F2) = (1/2F)

= (1/(Ö5 + 1)) = (Ö5 - 1)/4


Y para hallar Cos(36º) tenemos la identidad:
1–2.Sen2(18º) = Cos(38º)
Es decir:
Cos(36º) = (Ö5 + 1)/4