sábado, 5 de febrero de 2011

La conjetura Collat


Lothar Collatz


La conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam (entre otros nombres), fue enunciada por el matemático Lothar Collatz en 1937, y a la fecha no se ha resuelto.

La conjetura Collatz dice que por medio de determinadas operaciones sucesivas de cualquier número natural (entero positivo), siempre se puede consiguer el número 1.

Funciona de la siguiente manera:
Comienza con un número entero positivo. Si este número es par, se divide por dos. Si es impar, se multiplica por 3 y añadir 1.

Es decir:


donde f es una función de N a N
Al final de ella se obtiene un nuevo número y repita el
proceso.
Lothar Collatz conjeturó que recurrentemente al continuar con esta secuencia de operaciones, inevitablemente llega a la número 1.

Veamos un ejemplo:

Comience con 6. Como es par, se divide por 2 y obtiene 3. Como este es impar, se multiplica por 3, añadir 1 y se obtiene 10. A continuación, se obtienelos números:

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos.

Ejemplos:

Comenzando en n = 6, uno llega a la siguiente sucesión: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Empezando en n = 11, la sucesión tarda un poco más en alcanzar el 1: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Empezando n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.


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