sábado, 23 de abril de 2011

Desafío matemático Nº 02 - EL PAÍS

DESAFIO MATEMÁTICO Nº 02 - Una hormiga con un negro futuro

Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.


Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?


SOLUCIÓN AL DESAFÍO MATEMÁTICO Nº 02


El problema puede resolverse de varias maneras. Aunque se podía resolver utilizando técnicas matriciales (y así lo han hecho algunos lectores) en el video exponemos un método con el que no hacen falta conocimientos matemáticos avanzados, sino simplemente ser conscientes de la simetría del problema y resolver sistemas de ecuaciones.

Llamaremos P(i,j) a la probabilidad de que, partiendo del vértice i se vaya a llegar al vértice j (sin tener en cuenta el camino seguido). Con este lenguaje, lo que nos piden es P(1,7) y P(1,8). La simetría del problema da lugar a las siguientes relaciones:

P(1,8)=P(2,7) (ya que, por simetría, la probabilidad de llegar a 8 desde el vértice 1 tiene que ser la misma que la de llegar a 7 desde el vértice 2),

P(2,8)=P(1,7), P(3,8)=P(4,7), P(4,8)=P(5,8)=P(3,7)=P(6,7) y, finalmente P(6,8)=P(5,7).

Además, dado que la única forma como puede morir la hormiga es por envenenamiento, la probabilidad de que en un pase aleatorio infinito nunca pase por los vértices 7 u 8 es cero.

¿Por qué? Que la hormiga sobreviva implicaría que la secuencia de movimientos que nunca contuviera los números 7 ni 8. La probabilidad de tener una secuencia con esas características cuando la hormiga recorre una arista partiendo de vértice cualquiera es menor de 6/8, cuando recorre dos de 6/8*6/8=(6/8)^2, ... tras recorrer N aristas, la probabilidad de que nunca haya pasado por los vértices 7 y 8 sería (6/8)^N. Según aumenta N ese número se va haciendo más pequeño; de hecho el único número no negativo que es menor que (6/8)^N para cualquier N es el 0.

Esta era una de las preguntas que se formulaban en el problema, con la intención de que sirviera como pista para resolver el resto. Esta relación se escribe como P(1,7)+P(1,8)=1 o, equivalentemente, como P(2,8)+P(1,8)=1.

Las condiciones del problema nos indican que la probabilidad de que partiendo de un vértice i se llegue al vértice 8 es el promedio de las probabilidades de llegar a 8os desde los vértices contiguos a i. Así, podemos obtener diferentes ecuaciones. Nos van a quedar muchas relaciones que no van a aportar información adicional y elegimos tres de ellas (no hay problema en elegir otro conjunto equivalente, la solución será la misma):

P(1,8)=P(2,8)/3+P(4,8)/3+P(5,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

Teniendo en cuenta las relaciones de simetría y que P(2,8)+P(1,8)=1, podemos reducir el problema a 4 ecuaciones con 4 incógnitas (en el video se muestra en detalle), resultando

P(1,8)=P(2,8)/3+2*P(4,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

P(2,8)+P(1,8)=1

Resolviendo ese sistema (ver video) resulta que P(1,8)=4/7 y P(1,7)=P(2,8)=3/7.

Enhorabuena a los acertantes y gracias por participar. Esperamos que hayáis pasado un rato entretenido jugando con las matemáticas.

Fuente:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/hormiga/negro/futuro/elpepusoc/20110330elpepusoc_6/Tes


La solución la puedes observar en el link siguiente:


Solución al desafío matemático Nº 02