sábado, 30 de abril de 2011

Ciclo Review - Trigonometría 1, 2 y 3

_Trigon_01_SistemasMedidas


CLAVES PRACTICA _Trigon_01 Sistemas de Medida Angular

NIVEL I

1) c 2) b 3) b 4) b 5) c
6) d 7) d 8) d 9) b 10) c
11) e 12) b 13) c 14) d 15) c

NIVEL II

1) d 2) b 3) c 4) b 5) c
6) c 7) a 8) a 9) a 10) b
11) c 12) e 13) b 14) e 15) a




CLAVES PRACTICA _Trigon_02_Longitud de Arco


NIVEL I

1) b 2) c 3) a 4) b 5) b
6) a 7) c 8) b 9) d 10)b
11)d 12)c 13)c 14)b 15)e

NIVEL II

1)d 2)e 3)d 4)c 5)e
6)d 7)d 8)d 10)d
11)a 12)b 13)e 14)c 15)e




CLAVES PRÁCTICA _Trigon_03 Razones Trigonométricas



NIVEL I

1) c 2) b 3) e 4) e 5) e
6) e 7) c 8) b 9) d 10) b
11) c 12) b


NIVEL II

1) d 2) c 3) b 4) d 5) c
6) c 7) d 8) a 9) b 10) a
11) d

sábado, 23 de abril de 2011

Desafío matemático Nº 02 - EL PAÍS

DESAFIO MATEMÁTICO Nº 02 - Una hormiga con un negro futuro

Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.


Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?


SOLUCIÓN AL DESAFÍO MATEMÁTICO Nº 02


El problema puede resolverse de varias maneras. Aunque se podía resolver utilizando técnicas matriciales (y así lo han hecho algunos lectores) en el video exponemos un método con el que no hacen falta conocimientos matemáticos avanzados, sino simplemente ser conscientes de la simetría del problema y resolver sistemas de ecuaciones.

Llamaremos P(i,j) a la probabilidad de que, partiendo del vértice i se vaya a llegar al vértice j (sin tener en cuenta el camino seguido). Con este lenguaje, lo que nos piden es P(1,7) y P(1,8). La simetría del problema da lugar a las siguientes relaciones:

P(1,8)=P(2,7) (ya que, por simetría, la probabilidad de llegar a 8 desde el vértice 1 tiene que ser la misma que la de llegar a 7 desde el vértice 2),

P(2,8)=P(1,7), P(3,8)=P(4,7), P(4,8)=P(5,8)=P(3,7)=P(6,7) y, finalmente P(6,8)=P(5,7).

Además, dado que la única forma como puede morir la hormiga es por envenenamiento, la probabilidad de que en un pase aleatorio infinito nunca pase por los vértices 7 u 8 es cero.

¿Por qué? Que la hormiga sobreviva implicaría que la secuencia de movimientos que nunca contuviera los números 7 ni 8. La probabilidad de tener una secuencia con esas características cuando la hormiga recorre una arista partiendo de vértice cualquiera es menor de 6/8, cuando recorre dos de 6/8*6/8=(6/8)^2, ... tras recorrer N aristas, la probabilidad de que nunca haya pasado por los vértices 7 y 8 sería (6/8)^N. Según aumenta N ese número se va haciendo más pequeño; de hecho el único número no negativo que es menor que (6/8)^N para cualquier N es el 0.

Esta era una de las preguntas que se formulaban en el problema, con la intención de que sirviera como pista para resolver el resto. Esta relación se escribe como P(1,7)+P(1,8)=1 o, equivalentemente, como P(2,8)+P(1,8)=1.

Las condiciones del problema nos indican que la probabilidad de que partiendo de un vértice i se llegue al vértice 8 es el promedio de las probabilidades de llegar a 8os desde los vértices contiguos a i. Así, podemos obtener diferentes ecuaciones. Nos van a quedar muchas relaciones que no van a aportar información adicional y elegimos tres de ellas (no hay problema en elegir otro conjunto equivalente, la solución será la misma):

P(1,8)=P(2,8)/3+P(4,8)/3+P(5,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

Teniendo en cuenta las relaciones de simetría y que P(2,8)+P(1,8)=1, podemos reducir el problema a 4 ecuaciones con 4 incógnitas (en el video se muestra en detalle), resultando

P(1,8)=P(2,8)/3+2*P(4,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

P(2,8)+P(1,8)=1

Resolviendo ese sistema (ver video) resulta que P(1,8)=4/7 y P(1,7)=P(2,8)=3/7.

Enhorabuena a los acertantes y gracias por participar. Esperamos que hayáis pasado un rato entretenido jugando con las matemáticas.

Fuente:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/hormiga/negro/futuro/elpepusoc/20110330elpepusoc_6/Tes


La solución la puedes observar en el link siguiente:


Solución al desafío matemático Nº 02


Desafío matemático Nº 01 - EL PAÍS


El diario de tirada nacional EL PAÍS, a través de su edición digital (EL PAÍS.COM), desde el 18 de marzo del 2011 ha creado una sección titulada El desafío Matemático, en el cual se propone problemas de matemáticas a nivel escolar. Es una muy buena iniciativa de la prensa, el cual promueve la pasión por las matemáticas, el descubrimiento de habilidades personales en la solución de los problemas.
¡ Bienvenidas propuestas como estás¡

DESAFÍO Nº 01 - Un problema matemático de ciudades y carreteras



Primer problema que Adolfo Quirós, de la Real Sociedad Matemática Española, organismo que en 2011 cumple cien años, y profesor de la Universidad Autónoma de Madrid, plantea a nuestros lectores. Cada semana, hasta completar las 30 que dura la promoción, plantearemos nuevos desafíos.


SOLUCIÓN AL PRIMER DESAFÍO:

Y la solución es... no hay solución

Resolvemos el primer problema de los desafíos matemáticos de EL PAÍS y demostramos por qué el lechero no puede recorrer el camino previsto

Primero, nos damos cuenta de que las ciudades pueden pintarse con dos colores, por ejemplo, rojo y azul, de forma que los vértices rojos sólo se comuniquen directamente con los azules y los azules con los rojos (que no haya ningún camino entre puntos del mismo color, vamos). Nos quedarán así seis ciudades azules y cinco rojas. Pues bien, si empezamos por una ciudad azul nuestro última etapa será también de ese color... pero entonces no habrá comunicación con el punto de partida (no están enlazados los puntos del mismo color). Pero si empezamos con una ciudad roja (sólo hay cinco) será peor: quedaremos atascados mucho antes de completar el circuito.

Pero hay más demostraciones posibles. Entre las respuestas correctas que utilizan otro tipo de argumentos, queremos destacar las que razonan esencialmente así: a cada ciudad llegamos por una carretera y salimos por otra, por tanto hay que usar dos y sólo dos carreteras por ciudad; podemos por tanto borrar dos carreteras (sin especificar cuáles) de las que llegan a cada una de las ciudades 3, 8 y 11 (donde confluyen cuatro), y una de las que llegan a 2 y 4 (ahí llegan tres). Borramos así ocho carreteras en total (como estas ciudades no tienen carreteras en común no hay riego de haber contado una dos veces). Pero esto nos dejaría con sólo diez carreteras, y eso hace imposible completar el circuito de 11 carreteras necesarias para unir los 11 puntos. Ésta, igual que la del profesor Quirós, es una solución sencilla y elegante, es decir, matemática.


Fuente:

Puedes seguir la solución paso a paso en el link siguiente:


lunes, 18 de abril de 2011

Mis alumnos de la I.E.P. Latino - San Pedro

2º B - Secundaria




2º A - Secundaria




sábado, 16 de abril de 2011

El principio del Palomar (Principio de las casillas)

En 1834, el matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), creador del concepto moderno de la función, enunció el siguiente principio, llamado el Principio de la Cámara de palomas:

Si se tiene m palomas y n casilleros los cuales van a ser ocupados por las palomas. Si n> m, entonces un casillero debe ser ocupada por más de una paloma.


A pesar de ser muy intuitivo y sencillo, este teorema se pueden resolver algunos problemas curiosos.

Sólo por curiosidad, vamos a demostrar este resultado por inducción matemática.

Supongamos entonces el resultado válido para un cierto número n de casilleros y consideremos la situación de tener n+1 casilleros y m > n+1 casilleros. Queremos mostrar que el resultado vale también en este caso, por tanto por Inducción Matemática concluir que vale para todo número natural n. Después de acomodar todos las palomas en los n + 1 casilleros, escogemos un casillero al azar. Se en este casillero hay más de una paloma, nuestra afirmacion está aprobada. Si en este casillero no hay palomaalguna, en los n casilleross restantes están acomodados m > n + 1 > n objetos, o que, por la hipótesi inductiva, sucede que un casillero hay más de una paloma. Se en la casiller escogida hay una paloma, luego, en los n casilleros restantes, están distribuídos m - 1 > n palomas, o que, nuevamente, por la hipótesis inductiva, sucederá que en uno de los casilleros hay más de una paloma.


Dejamos algunos problemas para que sean resueltos por el lector:

1 - Hay n personas en una fiesta. Algunos conocidos, otros no. Mostrar que en la fiesta hay dos personas que tienen el mismo número de conocidos, suponiendo que la relación conocida es simétrica: si x es conocido de y, se tiene y es conocido de x, y no reflexivo: ninguno se conoce a sí mismo.

2 - Dentro de los cinco puntos seleccionados dentro de un triángulo equilátero de lado 1 cm, hay dos puntos que distan entre sí menos de 0,5 cm.

3 - Si todos los puntos del plano está pintado de rojo o azul, existe un rectángulo en el plano cuyos vértices son del mismo color.

4 - Existe dos potencias de 3 cuya diferencia es divisible por 2007.

Clases virtuales del Instituto de Tecnologia de Massachusetts

Una de las maravillas de la internet es la oportunidad que nos brinda el de acceder a las clases virtuales del Massachusetts Institute of Technology

El MIT (Massachusetts Institute of Technology) ha publicado más de 800 lecciones en video. Cursos como arte, economía, ingeniería, entre muchos otros. Y todo ello gratis. Sólo tienes que entrar y comenzar a sentir un estudiante en el MIT, haciendo click en el link siguiente:


A modo de ejemplo tenemos una clase magistral del matemático multimillonario y filántropo Jim Simmons cuyo titulo es: "Mathematics, Common Sense, and Good Luck: My Life and Careers"


El mito de la caverna




Recuerdo en la juventud la grata experiencia que dejo en mi la lectura "La República" de Platon; es uno de los libros que nos maravillan, nos hace reflexionar y ayuda a tener nuevas perspectivas sobre nuestra existencia. En él está presente una bella alegoría sobre la situación en la que se halla el hombre respecto del conocimiento, realizada por el filósofo griego Platón al principio del VII libro de La República:

El mito de la caverna

"-Después de eso -proseguí - compara nuestra naturaleza respecto de su
educación y de su falta de educación con una experiencia como ésta.
Represéntate hombres en una morada subterránea en forma de caverna, que
tiene la entrada abierta, en toda su extensión, a la luz. En ella están desde
niños con las piernas y el cuello encadenados, de modo que deben
permanecer allí y mirar sólo delante de ellos, porque las cadenas les impiden
girar en derredor las cabeza. Más arriba y más lejos se halla l luz de un fuego
que brilla detrás de ellos; y entre el fuego y los prisioneros hay un tabique
construido de lado a lado, como el biombo que los titiriteros levantan delante
del público para mostrar, por encima del biombo, los muñecos."






Cuando explicamos el mito de la caverna, nos tenemos que imaginar una caverna subterránea, en la cual hay unos hombres que han estado allí desde niños, atados por el cuellos y las piernas de forma que solo puedan observar el fondo de la caverna que se encuentra en frente de ellos. Detrás de estos hay un fuego, y entre el fuego y los encadenados hay un camino por donde pasan personas que transportan una serie de objetos.
Como la altura de los objetos sobrepasa la altura de la pared a las que están encadenadas las personas, las sombras son reflejadas en el fondo de la caverna, de forma que es lo único que los prisioneros pueden ver, y tomar como real.
si alguno de estos prisioneros fuera liberado y subiera a la superficie, la luz le cegaría y le dolerían los ojos, necesitaría acostumbrarse para ver las cosas

Finalmente veamos una representación animada del mito de la caverna de platón (de 6 minutos y 53 segundos de duración) publicada en You Tube