sábado, 4 de agosto de 2012

Maratón de Problemas de Geometría de Olimpiadas - I

1. ABC es un triángulo acutángulo con ortocentro H y circuncentro S. Demostrar que
                                     ÐHAS = B – C  (B > C). 

Solución:





2. Sea ABC triángulo equilátero inscrito en una circunferencia. Sea P un punto del arco BC y Q la interseccion de AP y BC. Demuestre que 

                           1/PQ = 1/PB + 1/PC


Solución:



3. Sea ABC triángulo tal que ÐC = 60º y  Sen3A + Sen3B = 1halle Cos(ÐA - ÐB)

Solución:

Tenemos:  ÐA + ÐB = 120º ;   
                   Sen3A = 3SenA - 4 Sen3A
                   Sen3B = 3SenB - 4 Sen3B 
   pero      Sen3A = Sen(360 - 3B) = - Sen3B
   luego

                 4 = 4( Sen3A+ Sen3B)  = 3( SenA  + SenB) = 3(2)Sen(A+B)/2 . Cos(A- B)/2
                4 =  3Ö3Cos(A- B)/2    3Ö3Cos(A -  60)    
Finalmente
         
        Cos(A - B) = Cos(2A - 120) = 2.Cos2(A - 60) - 1 =  5/27.



4. Sea  T una circunferencia y O un punto exterior; desde O se traza tangentes a T en A y B. Por A se traza una paralela a OB y corta a T en C. OC intersecta a T en E. AE y OB se cortan en K. Pruebe que K es punto medio de OB.

Solución:


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