martes, 4 de septiembre de 2012

Solucionario de la Primera fase - Nivel II - ONEM 2012




1.   (35 + x ) = 2(11 + x)      
        \  x =  13

2.  a/b = 1/2;  b/c = 1/4 = 2/ 8, luego (a; b; c) = (1k; 2k; 8k)

 \  (a-b)/(b-c) =  1/6.

3.  32 = 5(5 + 1) + 2, luego compro 5(5) +2 caramelos.


4.  Sea Niños = x, Niñnas = x + 10, luego  { x + (x + 10)} - (2 + 3) = 31 ® = 13
                                      \  Assitieron 13 niños.

5.  Tenemos
        0 a 2 horas: 50%           De 0 a 8:  50% + 44% = 94%, luego de 8 a mas horas: 6%.
        2 a 4 horas: b
        4 a 6 horas: c               b+c+d = 44%.
        6 a 8 horas: d              d+e = 9%
        8 a mas horas: e           e = 6%

                \  De 2 a  6 horas es el 44%

6.  N = múltiplo de 3 pero no de 4 ®  N = múltiplo de 3 pero no de 12

                          \  N = 222

7.  En el graficoo, x + 40º = 90º

                      \  x = 50º

8.  En total hay 27 cubitos divididos en:
       0 pintados:   1

       1 pintados:   6 (uno en cada cara: el cubito central)
       2 pintados:   x


       3 pintados:   8 (uno en cada vértice)



                             \  x = 12


9.  Los anagramas son del tipo siguiente:
      1º Tipo  ABC __ __ __               Hay P3  –  1 = 3! – 1 = 5 (No incluir ABC)
      2º Tipo   __  ABC __ __             Hay P3  = 3!   = 6
      3º Tipo   __ __ ABC  __             Hay P3  = 3!   = 6
      4º Tipo   __ __ __ ABC              Hay P3  –  1 = 3! – 1 = 5 (No incluir ABC)



                   \  Hay 22 tipos.



10.  Tenemos

              ab22  cd3   ®     ab2 = k3   cd = k2
                                            ®       512 = k3 ;  64 = k2
                       \  a + b +  c  + d=   16.

11.  Tenemos


        8x + 15y = 7k  ® x + y = 7k3 (pues 8 = 7k1+ 1 y 15 = 7k2+ 1 )

                    \  x + y = 7. 


12.  Sean A, R, V las cantidades de canicas de color azul, rojo y verde, luego

       R  + V   >=  10

      A  + V   >=  20                ®     A + V + R  >=  40 + V   1

     A  + R   >=  40                      ®    V min = 1 y  (A + V)min = 40

                      \  (A + V + R)min = 41

13.  Tenemos    a2  + b2 + c = 160;

                        a = b + c

                        4 = b – c

        Sea         a = 2k      ®    b = k + 2,     c = k – 2 

       Luego

                     (2k)2  + (k+2)2 + (k - 2) = 160;

                      ®    6k2 +   8 = 160 

                     ®    12k2 +   16 = 320 

                     ®   (k+2)3 -  (k - 2) = 320 


                         \  b3 - c = 320.




        14.  Tenemos MCM =  24 32 .  7. 11.5 , no se altera si eliminamos  60 =  24 32 .5 

                        \  Eliminamos 60.

15.  Tenemos
      
  • 9210 si es mayor número apocalíptico (V) 
  • 1012 si es menor  número  apocalíptico (V) 
  • Si N = m(101)     ®   N = abab, no puede ser  apocalíptico (pues al menos debe de tenre 3 dígitos diferentes)           (F)
  • 1020 + 1021 = 2041          (F)



16.        1/a +  1/b +  1/c + 1/d + 1/abcd = 0,  a + b + c + d = 0

             ®      (b + a)cd + ab(c + d) =   – 1

            ®  – (c + da)cd + ab(c + d) =   – 1

                \  (ab - cd)(c + d) =   – 1




17.  Sea N = abcd, luego 
     
    Si eliminamos d ® abcd / abc Î N  ® (10 + d/abc) Î N  ® d = 0


    Si eliminamos c ® abc0 / ab0 Î N  ® (10 + c/ab) Î N  ® c = 0


          Si eliminamos b ® ab00 / a00 Î N  ® ab es múltiplo de a.
         
          Si eliminamos a ® ab00 / b00 Î N  ® ab es múltiplo de b, 

         Entonces ab  Î {11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99} 


                        \  Hay 14 números. 


18.  Los elementos suman 7(8)/2 = 28,y como al final todos los elementos son iguales 
entonces la suma sera

  un múltiplo de 7. Además en cada  operación la suma inicial se incrementa en un número  par

(pues los dos sumandos agregados son iguales)

Luego, las opciones a obtener en las sumas son:  7(8), 7(10), ...., pues los elementos

son  ³ 7. Veamos que 7(8) = 56, no es posible (es decir que todos sean 8)

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ;  eso implica o agregar 1s a 6 y 7, o a 7 y 1a :


                            1; 2; 3; 4; 5; 7; 8      o      2; 2; 3; 4; 5; 6; 8

El primer caso no es posible pues tendríamos que agregar 7 a 1 y 2.

El segundo caso no es posible pues tendríamos que agregar 5 a 3 y 4.

Veamos que es posible que todos sean 10



            1; 2; 3; 4; 5; 6; 7  ®  7; 8; 3; 4; 5; 6; 7  ®  7; 8; 8; 9; 5; 6; 7   
       
                                   ®  7; 8; 8; 9; 9; 10; 7  ®  10; 8; 8; 9; 9; 10; 10   

                                  ®  10; 10; 10; 9; 9; 10; 10  ®  10; 10; 10; 10; 10; 10; 10  

                         \  Se necesitan como mínimo 6 operaciones. 

19.  Consideremos el primer caso: el cuadradito central pintado (de rojo), veamos los subtableros 3x3 

posibles los cuales podemos colocar en cada una de las 4 regiones (rojo, azul, verde, amarillo)




   Se demuestra sin dificultad (exceptuando rotaciones, simetrías)  que existen solo 

  cuatro casos casilleros posibles:



  La mínima cantidad de cuadraditos pintados se lograra usando solo del tipo (a) y (d),

  lográndose 11 cuadraditos.


  La máxima cantidad de cuadraditos pintados se lograra usando solo del tipo (b) y (c),

  lográndose 13 cuadraditos.

 Ademàs se puede lograr 12 cuadraditos pintados usando, por ejemplo, (a) y (d)

Lo anterior lo observamos en el gráfico siguiente:



El segundo caso: el cuadradito sin pintar, el razonamiento es análogo:




                                 \  N puede tomar 4 valores (11; 12; 13; 14)


20.   Tenemos que  2012 = 2202112(3) es decir



              2012 =  2.36 + 2.35 + 0.34  + 2.33 + 1.32 + 1.31  + 2.30 

               Además

         (1 + 2.x + 1.x2). (1 + 2.x3 + x6). (1 + 2.x9 + x18). (1 + 2.x27 + 1.x54).

        (1 + 2.x81 + x126). (1 + 2.x243 + 1.x486). (1 + 2.x729 + 1.x1428).

 Es decir hallar el coeficiente de  x1012  equivale a hallar el producto de los coeficientes de 

color rojo 


                               \  El coeficiente es 4.

 GRACIAS POR LA ATENCIÓN A LA PRESENTE SOLUCIÓN.