miércoles, 5 de septiembre de 2012

Solucionario de la Primera fase - Nivel III - ONEM 2012


1.  x + 2y = 265
       x+ y = 160
                            \ x = 55

2.   60%(25) + 70%(30) + 80%(45) = x%(25 + 30 + 45)

         15 + 21 + 36 = x%(100) = x

                            \ x = 72

3.  Sea N  la cuenta a pagar  ® N = 2(3) + 5x = ….6  ò   ….. 1

                            \ x = 36

4.  Tenemos

            E = (Tan35º)(Tan55º) (Tan60º) (Tan65º) /  (Cot25º)(Cot40º) (Cot45º) (Cot50º)

           E = (1) (Tan60º) (Tan65º) /  (Cot25º)(1) (1) = (Tan60º)

                     \ E = Ö

5.  Sea 43620 es múltiplo de tres, al quitarle un dígito seguirá siendo múltiplo de 3 así como de 5 y 7.
   
    Tenemos que quitarle 3 ò 6, 4120 no es múltiplo de 7. 

                   \ Tendremos que borrar 6.

6.  Sean 
             C: cantidad de conejos; 
             P: cantidad de patos
      Luego                                    C - P  =  (1/2)(C + P)

                                                 2C - 2P =  (C + P)

                                                       \ C = 3P

7.  Tenemos: 

      Senq.Tana = 1/3
®  Cosa.Tana = 1/3
®  Sena = 1/3  y   Cosa = Ö8/3
                                         \ Cot Ö8.



8.  Sea E = TanC. CosA, luego

             E =  TanC. CosA =  CotA. CosA =   Cos2A/SenA =   {1/(1+ m2)}/ {2/(1+ m2}


                                              \ E = 1/2

9.  La división es              854 : 7 = 122

                                             \  ådígitos = 5

10.  Tenemos  
             2a < b;  3b < c;  4c < d, luego

            24a < 12b;  12b < 4c;  4c < d,  es decir

            24a < 12b < 4c  < d, entonces los valores mínimos serán:


                               \ a = 1;  b = 3;  c = 10;  d = 41. 

11.   Tenemos


    aba2  bc3    ®     aba = k3   bc = k2
                                ®    343 = k3 ;   49 = k2
                       \  a + b +  c  =   16.


12.  Se tendría que tener uno mas de lo que ve: es decir: (2h + 1h)  y (3m + 1m), 7 personas
        
                      \ Hay como mínimo 7 personas




13.
  Se tiene                            Nro de tarros          Àrea

                                                  1t                             1m   

                                                  "x"                      6(52) + 6(32) - 2(32)  

                              \ Se necesitará 186 tarros de pintura.

14.
  Si el àrea sombreada es de 19 cm2 , entonces el àrea son sombrear será  



      Àrea si sombrear:  6(8)/2 - 19 = x(m + n)/2;  con     m + n = 10


                                   \ x = 1.

15.  Tenemos 

           {å(f(6k+1) + f(6k+2) + f(6k+3) + f(6k+4) + f(6k+5) + f(6k+6)} (k=0,15)



           + f(97) +  f(98) +  f(99)  + f(100)   =   å(21) + (6+3+2+1) = 16(21) + 14

                                 \  å = 350.


16.
  Se tiene       a - 1 =   ... (I)

                          b - 1 = ... (II)

                    ®  (a+b)(a-b) + (a-b) = 0      de (I) - (II)
                    ®  (a+b + 1)(a-b) = 0,     
                    ®  (a+b) = -1 
 Además:    
                         (ab2)  - 2 = - 1    de  (I) + (II)

                    ® (ab2)  =  1

Luego            2ab = (a+b)(ab2)  = 0

Finalmente        (ab3) = (a + b)(ab- ab) 
 
                       \  (ab3) = - 1

17.   





                    \  (a + b) max = 5.


18.  Sea el triángulo ABC de ángulos:  (x - r), x, (x + r)  ®   x = 60º, los otros ángulos sumaran 120º




       Supongamos que m(PMB) = 90º y sea a = m(BAM); b = m(MAC) luego:

       m(PNB) = a =  m(PNC)  = m(PCM) 
             
                         .... por cuadriláteros inscriptibles APNO y NOMC;  y propiedad "mariposa"  


       m(NPC) = a =  m(NBC)  = m(MPC) 
             
                         .... por cuadriláteros inscriptibles APNO y OPBM;  y propiedad "mariposa"         

   En el triángulo rectángulo PMC:  a + b = 45 = m(A)

                              \  El mayor àngulo mide 75º.


19.   Tenemos por Cardano

                               a + b + c  = - 3
  
                        ab + ac + bc   =  5

                                    a .b. c =  -7 

       Luego:  P(y) = 3 - y, para y Î{a: b: c}

       Sea     Q(x) = P(x) + x + 3, luego tendrà como raíces a {a: b: c}

         ®    Q(x) = P(x) + x + 3 = k(x - a)(x - b)(x - c)

      Reemplazamos x = -3

       ®    Q(-3) = -16 = -k(3 + a)(3 + b)(3 + c)

       ®                   16 =  k{ 33   3(a + b + c)  + 3(ab + ac + bc) + abc}

      ®                   16 =   k{0 + 15 - 7}

      
      ®                   2 =   k 

    Finalmente:           P(0) + 0 + 3 = 2(-a)(-b)(-c) = 14

                    \  P(0) = 11.


20.  Sea el gráfico siguiente:




 Tenemos 2(a + b + c) = 360º  ®   a + b + c = 180º, luego  x = b  ;  y = a.

Entonces DABP  ~  DAPD  ~  DPDC

 m/PA = PD/AD   y    n/PA = PD/AD  

®   m = n 

Finalmente        m/8=  6/n    ®   m = n  = 4Ö3

                     \  BC = 8Ö3.



 GRACIAS POR LA ATENCIÓN A LA PRESENTE SOLUCIÓN. 

1 comentario:

Rachel Briones dijo...

Gracias por la resolución. :) Me ayudo mucho