miércoles, 29 de febrero de 2012

domingo, 19 de febrero de 2012

Divertimentos matemáticos - 01


En 1938, se publicó en la revista American Mathematical Monthly un memorable artículo,titulado A contribution to the mathematical theory of big game hunting, bajo el nombre de H.
Pétard. La referencia completa es H. Pétard, A contribution to the mathematical theory of big game hunting, A.M.Monthly 45 (1938), pp.446-447. En este artículo se formulaba el problema en la forma siguiente :
En el desierto del Sahara hay leones. Descríbanse métodos para cazarlos, y se daban 10 soluciones matemáticas y algunas otras físicas.

Veamos algunas "demostraciones" curiosas:
Divertimentos 01

sábado, 18 de febrero de 2012

jueves, 16 de febrero de 2012

Olimpiadas de Matematicas - Centroamerica y Caribe - 1999 - 2007


La Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe (OMCC) nació en 1999 con el propósito de promover la participación de los países de la región en concursos olímpicos de matemática, estimular la participación de jóvenes menores de 17 años en concursos matemáticos y fomentar el intercambio de experiencias académicas y organizativas para fortalecer el recurso humano involucrado en este tipo de eventos.
La OMCC se realiza con el auspicio permanente de la Organización de Esta-dos Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) y el apoyo eventual de otras organizaciones públicas y privadas, según el país an fitrión. Cada país participa con un equipo de hasta tres estudiantes y un profesor,
como Jefe de Delegación.

La prueba se realiza en dos días consecutivos. Cada día los participantes disponen de cuatro horas y media para resolver tres problemas, cada uno de los cuales tiene un valor de siete puntos.

Hasta el presente se han celebrado nueve de estas Olimpiadas, en Costa Rica (1999), El Salvador (2000), Colombia (2001), México (2002), Costa Rica (2003), Nicaragua (2004), El Salvador (2005), Panamá (2006) y Venezuela (2007).
Te presentamos todos los problemas tomados en ese evento:

Olimpiadas de Centroamerica y El Caribe 1999 - 2007


lunes, 13 de febrero de 2012

Lectures Notes on Mathematical Olympiad Courses - 1, 2



Estos dos libros están basados en los apuntes de los cursos de formación Olimpiada Matemática llevadas a cabo por   Jiagu Xu, profesor formador de matemáticos de Universidad Fudan, (China), y es de nivel Olimpiadas Matemáticas - Junior.  Su alcance y profundidad no sólo abarca y supera el plan de estudios habitual, pero introduce algunos conceptos de variedades y métodos de las matemáticas modernas.

En el desatollo de capitulo del texto,se toman como base los conceptos, teorías y métodos básicos de matemáticas asociados a problemas de Olimpiadas de matemáticas. Los ejemplos sirven para explicar y enriquecer su intención e indicar sus aplicaciones. Además,está disponible para la práctica lectora y el propósito de la prueba el número apropiado de preguntas de cada capitulo con sus soluciones detalladas dadas en forma clara y  convenientemente.

Los ejemplos no son muy complicadas para que los lectores puedan comprender fácilmente. Hay muchas cuestiones de competencia real en el programa que los estudiantes pueden utilizar para comprobar sus capacidades. Estas son las preguntas del examen de muchos países, por ejemplo, China, Rusia, EE.UU., Singapur, etc, en particular, el lector podrá encontrar muchas preguntas de China.

Este libro sirve como libro de texto útil de matemáticas cursos de la Olimpiada, o como un libro de referencia para los profesores e investigadores relacionados.

Lo puedes descargas desde este links

Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses (v.1)

Lectures Notes on Mathematical Olympiad Courses (v.2.)


sábado, 11 de febrero de 2012

Demostración sin palabras - 01

Iniciamos esta sección  "Demostración sin palabras" con el propósito de mostrar en forma lúdica, geométrica   la aseveración de alguno teoremas, identidades, proposiciones  de manera concisa, clara e irrefutable.
Veamos la primera demostración:

Enunciado 1.  Toda potencia k de un número natural n  se puede expresar como la suma de n impares consecutivos.



nk = (nk – n +1) + (nk – n + 3) + …. + (nk – n + 2n – 1)

Las matemáticas: un proceso analógico, de previsión, de síntesis y de matesis

Muchas personas consideran la matemática como ciencia abstracta, lejos de la realidad concreta y cotidiana, lastimosamente a veces aún relacionada a algo “terrible” (fórmulas muy complicadas y bastante áridas con cálculos incomprensibles), pero el Dr. David Juan Ferriz Olivares, en el texto “Serge Raynaud de la Ferrière - Su Pensamiento Primordial - Yo realicé a Dios a través de las Matemáticas” afirma que: la matemática puede aplicarse a la realidad porqué esta es de índole matemática. Es la naturaleza matemática de lo real”. En efecto, las matemáticas están presentes en todos los campos de la ciencia y también en nuestro mundo cotidiano: es suficiente mirar las simetrías y forma de un girasol, de un fruto, el orden de ramificación de un árbol, la armonía y belleza de una flor. Se puede reconocer un orden, una geometría, una armonía matemática en todo los que nos rodea: no sólo en la naturaleza (en una flor, en una hoja, en un cristal), sino también en lo que consideramos “estético”, armónico, en una palabra “bello” (una pintura, una obra artística, una música). Aquí surge un interrogante: ¿Cómo es posible que el canon estético en la naturaleza, en el arte, en la música, corresponda tan exactamente a una relación matemática, a una serie de números, a una ecuación? Aunque parezca extraño, es así. Desde la antigüedad el hombre se ha preguntado acerca de la naturaleza del mundo: ¿Es el hombre quien ha inventado las matemáticas para describir al mundo o mas bien la naturaleza es matemática? Muchos sabios en la historia han intentado dar una respuesta: Galileo afirmó que para comprender el universo hay que comprender el lenguaje y los símbolos con los cuales está escrito, y “el lenguaje es matemático y sus símbolos son los triángulos, círculos y otras figuras geométricas”. Según Platón, el conocimiento de la matemática es indispensable para cualquier filósofo y hombre de gobierno. En el ingreso de la escuela filosófica por él fundada (La Accademia) estaba escrito “No entre quien ignora la geometría”: Pitágoras mismo decía que “la esencia de todas las cosas es el número y que los cielos eran armonía y número” y había fundado una mística de los números. El formuló la teoría según la cual la matemática, la música y la naturaleza tenían los mismos principios, el afirmó que existían 3 músicas: una instrumental, una humana y una del cosmos. Las antiguas culturas (Maya, Egipcia, Inca, Griega, etc.) habían desarrollado un concepto muy avanzado e incluyente de la ciencia matemática, que les permitía dar una interpretación simbólica del mundo y de sus leyes. Los números tenían un significado profundo, por ejemplo los Pitagóricos los consideraban como principios, y en la Biblia misma está escrito que “Habéis arreglado todo con medida, con Número y con Peso” (Sabiduría XI-20) Los Mayas habían alcanzando un concepto muy elevado de la divinidad, una concepción casi no religiosa sino científico-filosófica; ellos consideraban la existencia de un ser absoluto llamado HUNABKU, que significa “el único Dador del Movimiento y la Medida. (Figura 1).

Figura 1 Hunabku “el unico dador del movimiento y la medida”.

Los Pitagóricos no se limitaron al solo aspecto de la matemática como ciencia cuantitativa, sino que hicieron una síntesis con una visión más amplia, y esta visión del mundo tuvo su influencia en la vida social y en un orden moral. Ellos evidenciaron el carácter analógico de esta ciencia “Al combinar los números, sus propiedades resultaron tan sorprendentes, que los pitagóricos buscaron por dondequiera analogías entre número y cosas y llegaron a fundar una especie de mística numérica con enorme influencia en todo el mundo antiguo.

El origen del término matemática (del latín mathematicae y del griego mathematiké) nos indica su significado etimológico de conservar el saber, la ciencia; está también relacionado a mathema (disciplina, estudio). En las diversas lenguas tiene el doble sentido de medir y de pensar, o sea medir con la mente (mati = pensamiento, medha = inteligencia, pensamiento). Es interesante también ver como la palabra griega logos (ratio en latín) tiene tres significados: lenguaje, racionalidad y matemática; o sea la matemática es relacionada a un sentido de orden, de armonía en la naturaleza, en el hombre y en el Cosmos (“... se ha intentado encontrar un concepto más general para definir el contenido de la Matemática: Es el concepto de orden” .

Los antiguos veían una aplicación de este concepto de orden y armonía en algunas proporciones y relaciones particulares (la sección áurea y el número dorado phi Φ = 1,6180...) en los cuales se demuestra la capacidad de síntesis de la matemática: esta relación está presente en la naturaleza (en la disposición de las semillas de una manzana, en algunos caracoles, en algunas flores,..) en el hombre (en las proporciones de su cuerpo), en el arte y en la arquitectura (Partenón, FIDIA, etc…), en la música (Mozart, Bartok, Wagner). Hay autores que afirman que “Phi, el número dorado representa el símbolo de la armonía del universo: un universo creado por un Dios matemático.

Las culturas ancestrales han además observado y buscado un principio de unidad entre las múltiples diversidades de este mundo, ellos atribuían esta unidad a las divinidades o a un creador único. “En épocas más recientes, este concepto se ha vuelto básico tanto en el arte como en la ciencia. El matemático estadounidense G. D. Birkhoff en 1928 desarrolló una teoría de la medida estética basada en este principio, al que él se refería como “el orden en la complejidad”. La medida del valor estético, según su teoría, es proporcionalmente directa al orden e inversa a la complejidad”. “La ciencia no es nada más que la búsqueda de unidad en la salvaje variedad de la naturaleza o más exactamente, en la variedad de nuestra experiencia. La poesía, la pintura, las artes son —según la frase de Coleridge— la misma búsqueda de unidad en la variedad” (J. Bronowski).

A este propósito el Dr. Serge Raynaud de la Ferrière afirma que: “No se trata de saber si la naturaleza es UNA, porque eso es evidente, sino de saber CÓMO es UNA.....

“En la naturaleza el copo de nieve es uno de los más bellos ejemplos de este principio: cada copo es diferente y, sin embargo, todos se hallan aunados por su patrón hexagonal básico”. Esta uniformidad hexagonal caracteriza todos los patrones inorgánicos cristalinos, mientras que los patrones orgánicos son caracterizados por la forma pentagonal (Figura 2).



Figura 2: ejemplo de patrones orgánicos pentagonales (echinodermi y una flor) y patrones inorgánicos hexagonales (cristal, copo de nieve).

La forma espiral (ya sea logarítmica o volumétrica) se encuentra en la naturaleza en lo microscópico (en los moluscos, en los caracoles, en las plantas, figura 3) y en lo macroscópico (en las galaxias).


Figura 3: ejemplos en la naturalezza de formas espirales logarítmica (a la izquieda) y volumétrica (a la derecha).

Las matemáticas, entonces, demuestran su gran capacidad de analogía, de previsión y de síntesis en la comprensión del mundo que nos rodea.

En el proceso dialéctico la concepción común de la matemática como ciencia de la cantidad podría ser considerada como tesis, el concepto más filosófico de esta ciencia como antítesis (un complemento de la tesis), en fin, la síntesis, de la tesis y la antitesis constituida por la visión que las antiguas culturas tenían de la matemática.

El Dr. Serge Raynaud de la Ferrière propone un cambio cualitativo en la dialéctica tesis-antítesis-síntesis, considerando como último paso la mathesis, o sea la “síntesis viviente para la realización integral del hombre como identificación universal”. El Dr. Serge Raynaud de la Ferrière enfoca la base epistemológica de una ontología matemática, en el texto Serge Raynaud de la Ferrière - Su Pensamiento Primordial - Yo realicé a Dios a través de las Matemáticas, quien expone tres alternativas de seguimiento de esta vivencia: 1) la vía a través de los modelos matemáticos —estructuras biológicas— estructuras del conocimiento, como una realización logística; 2) la vía del pensamiento analógico unido a los métodos de las concordancias, incluyendo la realidad de las analogías en las estructuras globales, como en el caso de la Arqueometría, es decir, analogía y universo; 3) la vía de la epistemología de la vida, que según el propio Dr. Serge Raynaud de la Ferrière se hace necesario enfocar para analizar las diferentes manifestaciones de la Causa Suprema, lo cual conlleva una transformación de una mística, así como una “conciencia de sí” de la ciencia”; esta tercera vía puede llevar al hombre a un nuevo concepto de la Divinidad.

La primera alternativa se basa en el proceso de la “abstracción matemática que a través de sus modelos llega a las estructuras biológicas que a la vez nos llevan a los análisis genéticos de las estructuras del conocimiento, del pensamiento mismo”.

La segunda alternativa para la realización de esta vivencia se fundamenta en el campo analógico con su “metodología llana y directa o en sus sistemas modernos que escapan a la experiencia: el pensamiento analógico de todas maneras ayuda a ligar las concordancias, las asociaciones de ideas desde lo inicial a lo universal. Una profundización del pensamiento analógico lleva especialmente a las teorías a situarse entorno a los modelos matemáticos”. En efecto la analogía (del griego analogos, proporción) “es en el sentido matemático la igualdad de relación que une dos a dos los términos de distintos binas. La analogía es también en función de su relación común con un tercero... Así las operaciones científicas podríamos considerarlas en buena parte como la transformación de analogías en concepto”. La realidad de las analogías en la estructura global nos lleva al antiguo Arqueómetro, síntesis de correspondencias de números, letras, notas musicales; números, colores, planetas, etc.

En el campo de la didáctica es importante comprender este poder analógico, de síntesis y de matesis de la matemática, y la vía analógica parece muy provechosa. El niño necesita descubrir el asombro de las bellezas matemáticas, de sus relaciones con la naturaleza, con el arte y con el mundo que nos rodea. Esto es un gran reto de la educación y didáctica de las matemáticas.
“Frente a eso la responsabilidad de la matemática se hace muy grave, como esa disciplina que tiene en sí misma elementos indispensables para la adquisición de cualquier conocimiento técnico...” pero no puede ser el solo objetivo de la matemática lo de un conocimiento técnico, sino que debe ser más amplio, en su congenialidad con la mente, en sus lazos y analogías en intereses multiformes. Como dice Jean Dieudonné: “enseñando la matemática a los jóvenes… queremos enseñarles a ordenar y concatenar sus propios pensamientos según el método de los matemáticos, considerado el hecho que este ejercicio es un excelente sistema para desarrollar claridad de mente y rigor de juicio”.
Es fundamental que el niño desde pequeño pueda descubrir el poder analógico y de síntesis de las matemáticas, y cómo ésta es un instrumento y lenguaje universal y que tiene influencia también en el aspecto social y humano. El reconocimiento del porqué y para qué de la matemática, de su funcionalidad, es fundamental. Las analogías nos permiten establecer la unidad global entre los conceptos cuyas significaciones son muy distintas.

El Dr. D. J. Ferriz Olivares remarca la importancia de las matemáticas y su influencia directa en lo social, con efecto en la ética y en las ciencias del comportamiento y en el comportamiento mismo: Dice David M. Messick que: …las personas que trabajan en el campo de las ciencias sociales y del comportamiento se han visto precisadas a apoyarse cada vez más en las matemáticas como herramienta conceptual capaz de facilitar la comprensión de los fenómenos propios de cada una de estas disciplinas y el número de aplicaciones fructíferas de las matemáticas a las ciencias del comportamiento aumenta muy rápidamente.


Enero 2011

Dra Francesca Bradamante

Fundación ELIC – Trieste (Italia)
Fuente:

domingo, 5 de febrero de 2012

Ingresantes a la UNT via Cepunt 2012 - I

Ingresasnte via Cepunt - 2012 - I

sábado, 4 de febrero de 2012

Reto de la Semana - 07




Retornamos a nuestra sección "Reto de la semana", con el problema siguiente:

Consideremos el primer cuadrado de la figura, luego es posible construir dos cuadrados más pequeños, de lados 4 y 3 (puesto que 52 = 42 + 32) como los que aparecen en la parte derecha de la imagen; sin embargo, hemos tenido que cambiar la orientación de algunas letras.



¿Sería posible obtener 4 piezas de forma que construyamos dos cuadrados de lados 4 y 3, y que todas las letras estén de pie? (esto es, que mantengan la orientación)