domingo, 29 de abril de 2012

Mundo mágico de M. C. Escher

Esta es una animación hermosa, con muchas ideas de M. C. Escher. Usted encontrará varios conjuntos de conceptos matemáticos, lo que ha visto a lo largo de los años. Intente  cuántos puede identificar.

domingo, 1 de abril de 2012

Solucionario Cuarta Fase - Nivel 1 - Onem Peru, 2011sol

Solución 1


Sea {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} = {a; b; c; d; e; f; g; h;i} tal que  Alonso, Beatriz y Carol recibieron las tarjetas {a; b; c}; {d; e; f}; {g; h; i} respectivamente.


i) abc/(a + b + c) = 3,2 = 16/5  ®  5abc = 16(a + b + c)  de a, b, c al menos uno de ellos es par (ejercicio), sea c = 2m, luego

    5abm = 8(a + b + 2m)
® (a + b + 2m)  es multiplo de 5
   (a; b; m) = (1; 6; 4) ò (1; 8; 3)
    finalmente a = 1; b = 6; c = 8 (ò a = 1; b = 8; c = 6)

ii) def/(d + e + f) = 5  ®    d ò e ò f es 5  ;
                                       supongamos  d = 5
                                 ®  ef = 5 + e + f   e = 3  f = 4
iii) ghi/(g + h + i) = 7  ®    g ò h ò i es 7   ;
                                       supongamos  g = 7
                                            ® hi = 7 + h + i   h = 2  i = 9

Alonso, Beatriz y Carol recibieron las tarjetas {1; 6; 8}; {5; 3; 4}; {7; 2; 9} respectivamente.

Solución 2

Parte (a)

Parte (b)



Anàlogamente, se demuestra, por simetrìa, para el cuadrito en blanco central de la izquierda asi como de abajo, luego hay 5 casos posibles para ubicar el cuadradito en blanco. Los otros 16 no son posibles (ejercicio)


Solución 3

 n = 19, pues:

i)   9, 18, 7, 16, 5, 14, 3, 12,1,10,11,2, 13,4,15,6, 17, 8, 19    es una distribución  válida, observe que necesariamente 0 va en la parte central ( no hoy otro número aparte de 10 que tenga la cifra 0)


ii)  n < 19 no es posible, pues sólo el 9 aparecería una sola vez, y debería colocárselo en medio, pero ese lugar es esta reservado al 0.


Solución 4


 No, no es posible:





Cuarta Fase - Nivel 1 - Onem Peru, 2011


Problema 1

Alonso, Beatriz y Carol se reparten nueve tarjetas numeradas del 1 al 9, sin repetición, tres para cada uno. Luego, cada uno halla el producto de los números en sus tarjetas y lo divide entre su suma. Si Alonso obtuvo 3,2; Beatriz obtuvo 5; y Carol obtuvo 7, ¿qué números recibió cada uno?



Problema 2

El siguiente tablero está formado por 21 cuadraditos blancos:


Una BN-operación consiste en escoger dos cuadraditos blancos que tengan exactamente un vértice en común y pintar esos dos cuadraditos de negro. Luego de efectuar 10 BN-operaciones en forma adecuada, quedó en el tablero un solo cuadradito blanco.

a) Da un ejemplo en el que luego de 10 BN-operaciones queda un solo cuadradito blanco.

b) ¿En qué posiciones del tablero pudo haber quedado ese cuadradito blanco?



Problema 3

Un conjunto de enteros positivos es llamado mansito si sus elementos pueden escribirse en algún orden, y uno a continuación de otro, para formar un número capicúa. Por ejemplo, el conjunto {2, 10, 201} es mansito, porque podemos escribir primero el 201, luego el 10 y finalmente el 2, para formar el número 201102 que es capicúa. Halla el menor entero positivo n ≠ 1 para el cual el conjunto {1, 2, 3, . . . , n} es mansito.



Problema 4

Cada casilla de un tablero de 2011 × 2011 se pinta de rojo o azul. ¿Será posible pintarlas de modo que cada casilla roja tenga exactamente tres casillas vecinas azules, y que cada casilla azul tenga exactamente una casilla vecina roja?
Aclaración: dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.