domingo, 19 de mayo de 2013

Sumativo I - Cepunt - 2014 - I (19 de mayo del 2013)

Entrevista al matemático peruano Harald Helfgott

Helfgott acaba de demostrar la conjetura débil de Goldbach, un problema de teoría de números que había permanecido irresuelto por 271 años.





Harald Helfgott. Recuerde ese nombre.

El matemático peruano acaba de hacer historia al hacer pública su demostración de un enunciado de importancia central en teoría de números: la conjetura débil de Goldbach. Este resultado (del que seguramente oiremos más en el futuro) viene a coronar una trayectoria académica de ensueño. A sus 35 años, Helfgott ya se ha hecho acreedor, entre otras distinciones, del Premio Leverhulme, otorgado por la Fundación Leverhulme, del Premio Whitehead, otorgado por la Sociedad Matemática de Londres, y del Premio Adams, otorgado por la Facultad de matemáticas de Cambridge y el St. John’s College. Vive actualmente en París y se desempeña como investigador en el CNRS (Centro Nacional para la Investigación Científica).

Inmediatamente luego de que la noticia rebotara en las redes (luego de haber sido mencionada por el matemático australiano Terence Tao en su cuenta de Google+), lo contactamos y accedió a concedernos por e-mail la siguiente entrevista:

Alonso Almenara: La conjetura débil de Goldbach afirma que:

Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.

Tenemos expresada en una línea de texto una verdad que no había podido ser demostrada por más de 270 años, y que ha sido descrita por GH Hardy en su famoso discurso de 1921 como uno de los problemas irresueltos más difíciles de las matemáticas.

Curiosamente, el enunciado es entendible por un escolar; su demostración, sin embargo, ocupa 133 páginas. ¿Podría intentar describir para una audiencia de no especialistas algunas de las razones por las que esta demostración ha eludido a los matemáticos por tanto tiempo?

Harald Helfgott: Primero – se logró progresar muy poco antes del siglo XX. El primer gran paso fue tomado por Hardy y Littlewood, en 1923; fueron ellos quienes comenzaron a usar el análisis de Fourier (“método del círculo”) en la teoría de números. En general, la teoría analítica de números – la rama que estudia, entre otras cosas, cuántos números primos hay hasta un número dado, cómo están distribuidos, etc. - comenzó a florecer recién a fines del siglo XIX.

Los trabajos de Hardy y Littlewood, en 1923, y de Vinogradov, en 1937, fueron trabajos pioneros, hechos en una época en que varios conceptos que resultaron ser relacionados a ellos – por ejemplo, la así llamada “gran criba” – aun no habían sido desarrollados o comprendidos completamente.  Curiosamente, la importancia de “suavizar” funciones antes de usar el análisis de Fourier era algo comprendido por los analistas, como Hardy-Littlewood, o por los matemáticos aplicados y físicos, o, probablemente, por los técnicos de su estación de radio, pero no se volvió un lugar común entre la gente de teoría de números hasta hace una generación, a lo más.

También se ha requerido bastante tiempo de cálculo, dado el enfoque que seguí, aunque los requisitos de tiempo de máquina, si bien considerables, no fueron enormes. Hace 30 años, había computadoras de suficiente potencia, pero el tiempo de maquina era mucho más costoso, y conseguir acceso a él hubiera sido una larga labor de política académica. En consecuencia, los matemáticos seguían rutas un poco distintas al intentar probar el teorema.

Por lo demás, no es inusual que un problema matemático quede irresuelto por siglos. Ya los griegos se planteaban preguntas que fueron resueltas solo en el siglo XIX.

AA: Su trabajo es el paso final en una serie de avances recientes en la carrera hacia la demostración del teorema débil de Goldbach. Entre los matemáticos contemporáneos que se han interesado en ese tema podemos mencionar al medallista Fields Terence Tao, a quien algunos han catalogado como el matemático más brillante en la actualidad. Tao es quien más cerca ha estado hasta ahora de lograr lo que usted ha logrado, y tengo entendido que él ha estado en contacto con usted y ha ratificado su trabajo. ¿Me podría decir algunas palabras sobre ese contacto entre colegas con un matemático tan admirado que valora y entiende la magnitud de su investigación?

HH: Yo diría que Tao me tiene confianza en esto, y no que lo haya ratificado completamente – ¡todavía tiene que leerlo! Conoce los métodos que he utilizado, hemos compartido ideas en el pasado, hemos hablado del problema... También escribimos un artículo junto con una tercera persona sobre otro tema hace unos años. En estos últimos tiempos, empero, he hablado más del problema con otra gente – por ejemplo, [Olivier] Ramaré, quien logró el resultado inmediatamente anterior al de Tao en 1995.

La mayor parte de los medallistas Fields que conozco son gente sencilla. ¡Los difíciles son los que quisieran volverse medallistas Fields! Claro, a veces los hábitos quedan... Pero es lo mismo en cualquier área.

AA: La aproximación que usted ha usado para lograr estos resultados aún no nos encamina necesariamente hacia una demostración final del teorema fuerte de Goldbach, que estipula que Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. ¿Podría decirnos algunas palabras al respecto? ¿Tiene planes de atacar este problema?

HH: Me parece que el teorema fuerte de Goldbach es mucho más difícil. Se necesitará un cambio completo de enfoque. No sé si será resuelto en nuestras vidas.

AA: Aunque usted acaba de dar a conocer sus resultados hace muy poco, imagino que ya ha habido algunas reacciones de sorpresa o de escepticismo en la comunidad matemática internacional. ¿Cómo describiría los comentarios que ha recibido?

HH: En verdad la reacción ha sido muy positiva. Varios especialistas sabían que yo trabajaba sobre el problema. Mi trabajo, en general, es conocido en el área, y al parecer se me tiene confianza.

AA: ¿Cómo se inició en las matemáticas? ¿De dónde proviene esa pasión?

HH: De la manera aburrida: de la casa. Mi padre escribió libros de análisis y geometría cuyos borradores leí; mi madre es estadística. Crecí entre libros, y se me alentó en mis intereses. Cuando tenía 12 o 13 años, comencé a ir a grupos de jóvenes que se reunían en San Marcos y la Católica para entrenarse para las competencias (“olimpiadas de matemática”) a nivel latinoamericano. Pronto se nos hizo claro que la competencia no era lo más importante – lo importante era aprender juntos, pedir consejos a estudiantes con más experiencia, y conocer a jóvenes de otros países con los mismos intereses.

AA:  Usted ha desarrollado una carrera espectacular en los Estados Unidos y Europa; ha ganado importantes premios y su trabajo ya era conocido en este ámbito en círculos académicos. Sin embargo, estos nuevos resultados van a darle muy pronto un nivel de visibilidad distinto. ¿Cómo se siente ahora y cuáles son sus proyectos a futuro?

HH: Creo que se trata de una buena oportunidad para hacer un poco de divulgación matemática. Ya desde hace tiempo ayudo a organizar cursillos y escuelas de verano dentro y fuera de Sudamérica – probablemente ser visible fuera del ámbito matemático facilite conseguir apoyo.

AA:  Este logro que acaba de hacer público va a inspirar a muchas personas. Entre ellas, a escolares y jóvenes matemáticos peruanos. ¿Qué recomendaciones les daría a estas personas que a lo mejor sueñan con embarcarse en una aventura como la suya y dedicar su vida a la investigación en este campo tan competitivo?

HH:  Lo mejor es comenzar pronto, de preferencia desde la secundaria, y no limitarse a lo que enseñan en la escuela. Es muy estimulante conseguirse libros con problemas – uno de los primeros textos serios que leí fue precisamente el librito de Vinogradov, de teoría de números. Es igualmente importante ponerse en contacto con otros estudiantes – si uno aprende solo, puede pasar mucho tiempo en cuestiones de poca importancia; se aprende más rápido discutiendo.

AA:  Aunque es difícil prever en qué contextos se terminará aplicando un aporte como éste, sé que ha habido avances en la teoría de números que han resultado bastante fructíferos en el campo de la seguridad de la información. Cada vez que alguien manda un e-mail o hace una transacción por internet está poniendo a trabajar resultados obtenidos por alguno de sus colegas. ¿Piensa que sus investigaciones podrían tener un impacto similar?

HH: Dudo que esto tenga aplicación alguna a la criptografía. Más bien, para llegar al resultado final, tuve que mejorar muchas técnicas de varias áreas, algunas de ellas aplicadas. Por ejemplo, necesitaba cotas explicitas para lo que se conoce como funciones parabólicas cilíndricas; estas habían sido utilizadas por mucho tiempo por físicos e ingenieros, pero, si bien había una buena serie de trabajos de alrededor de 1960, no tenían lo que necesitaba, así que tuve que derivar cotas explicitas yo mismo. Estas serán de interés para los especialistas de las ramas aplicadas, quienes ahora, sin duda, retomaran esa parte de mi trabajo y la mejoraran a su vez. Doy un ejemplo menor pero espero que sea bastante típico.

AA: Cuando lo contacté para hacerle esta entrevista, usted me comentó que cada vez que pasa por Lima se vuelve un asiduo oyente de Radio Filarmonía. Me gustaría preguntarle dos cosas respecto a eso: por un lado, cuáles son los compositores o los géneros musicales que más le interesan, y por otro si cree que de algún modo su pasión por las matemáticas tiene una relación con el placer que siente al escuchar música. ¿Hasta qué punto piensa que estos campos están relacionados?

HH:  Creo que mi primer contacto con la música de fines del siglo XIX y comienzos del XX fue a través de radio Filarmonía, cuando todavía era radio Sol Armonía. El gusto me ha quedado; ahora mismo estaba escuchando la tercera sinfonía de Roussel.

Hay probablemente más melómanos entre los matemáticos que en la población en general, o que entre la gente de Letras. Cuando estaba en la escuela de posgrado, a veces había un concierto de fin de año solo de la facultad de matemática, en la cual había muchos buenos intérpretes aficionados. No sé si es un signo de una afinidad profunda o simplemente una tendencia cultural que se ha propagado a través de la comunidad matemática internacional. Probablemente haya un poco de los dos.

En lo que se refiere al otro lado – muchos músicos saben poco de matemática, y la utilidad de la matemática para la composición ha sido limitada: puede decirse que hay un tanto de matemática en Bach o Schoenberg, pero de un tipo muy elemental. Hay algunas ideas explícitamente matemáticas en cierta música de la segunda mitad del siglo XX, pero no creo que haya convencido mucho ni a las audiencias ni a los matemáticos.

Es probable que los lazos más fuertes no sean entre la matemática y la composición o la interpretación, sino entre la matemática y la teoría musical, el diseño de instrumentos, las técnicas de grabación... La teoría musical comenzó como parte de la matemática, con Pitágoras y sus discípulos. Hablé del análisis de Fourier, que no es sino el análisis de frecuencias, y del método del círculo, que es el análisis de frecuencias racionales – eso está cerquísima de la música. El timbre de un instrumento está dado por la intensidad de sus armónicos, aparte del efecto del ruido. Cuando uno toca “la”, no suena solo éste “la”, a 440 hertzios, sino también, en menor medida, “la” a 880 hertzios, “mi” a 660 hertzios (660 = 440 multiplicado por 3/2), “fa sostenido” a aproximadamente 735 hertzios (o casi 440 multiplicado por 5/3),... En otras palabras, se trata de la frecuencia principal multiplicada por racionales de pequeño numerador y denominador. Y, por cierto, sus oyentes también están aplicando el análisis de Fourier de otra manera: al sintonizar su frecuencia, están tomando la intensidad del campo electromagnético alrededor de su antena y aislando el componente de frecuencias en la vecindad inmediata de 102.7FM, para así poder escuchar solo lo que Vds. transmiten.

Fuente:

http://www.filarmonia.org/post/2013/05/17/Entrevista-al-matematico-peruano-Harald-Helfgott.aspx

martes, 14 de mayo de 2013

Pruebas del Canguro Matemático 2013

En el evento académico nacional Canguro Matemático 2013, nuestra ciudad de Trujillo se hizò presente en dicho evento ganando una medalla de BRONCE, en el alumno Piero Cerna Novoa de la  IEP AI APAEC. Las felicitaciones tanto para el alumno como la institución que lo acoge.



Puebas Canguro 2013

Canguro - 5to y 6to Primaria


Canguro - 3ro y 4to Secundaria




Claves


Medallero


lunes, 13 de mayo de 2013

Pitágoras, los pitagóricos y muchos triángulos


Uno de los teoremas más importantes en la historia de las matemáticas, si no el más, es el Teorema de Pitágoras, atribuido a uno de los más importantes matemáticos de la historia, Pitágoras, fundador de toda una escuela de pensamiento, los pitagóricos.

¿Quién fue Pitágoras?


Pitágoras de Samos fue un filósofo que vivió sobre el siglo VI a.C. Nació en Samos, una población situada en la costa de la actual Turquía. En esa época Samos era gobernada por un tirano conocido como Polícrates. Durante su juventud conoció probabablemente a Thales, otro brillante filósofo y matemático (en otra ocasión habría que hablar del Teorema de Thales), que le recomendó que viajase a Egipto.

Este viaje a Egipto parece que fue tremendamente instructivo para el matemático, que adquirió gran parte de su conocimiento y filosofía en su estancia. Posteriormente, y alrededor del año 530 a.C., viajó a Croton, una población en el sur de Italia, donde fundó una escuela de conocimiento, una secta para algunos, conocida como los pitagóricos.

Parece que esto no resultó del agrado de los gobernantes, ya que fue expulsado de la ciudad, lo que le obligó a seguir viajando por el mundo.

Los pitagóricos: nerds de la antigüedad

El colectivo de los pitagóricos pervivió por muchos años, con unas reglas muy llamativas, como por ejemplo no comer grano, no recoger lo que se ha caido, no tocar un gallo blanco, no agitar el fuego con hierro, no partir el pan o no comer el corazón de un animal. También practicaban el ascetismo y el vegetarianismo. Unos nerds de la época antigua, vamos.

De acuerdo con las enseñanzas de Pitágoras, "el universo y el hombre, el macrocosmos y el microcosmos, son construidos por las mismas proporciones armónicas". Pitágoras creía que todos los seres vivos tenían parentesco, la inmortalidad del alma y en las vidas anteriores (el mismo se creía la reencarnación de un gran guerrero llamado Euphorbus).

Los números musicales: el teorema de Pitágoras





Pero lo que aquí más nos interesa es el popular teorema de Pitágoras. ¿Cuál fue su origen? Probablemente el interés por las proporciones armónicas. El filósofo observó que existía una relación entre la longitud de una cuerda tensa y el sonido que producía cuando vibraba. Por ejemplo, observó que dos cuerdas separadas por una octava  (una daba el Do bajo, mientras que la otra daba el Do agudo), tenían una relación de longitudes 2 a uno. La que daba el Do bajo tenía el doble de longitud que la que tenía el Do agudo.

Esto le resultó muy curioso, y siguió experimentando con las notas musicales y la longitud de las cuerdas. De este modo comprobó que cuando dos notas diferían en una "quinta" (es decir, una da un Do y la otra un Sol), la relación entre las longitudes es 3 a 2. Una de las cuerdas era una vez y media más larga que la otra. Y lo que es más curioso, cuando las relaciones entre las longitudes no eran simples, como 25 a 17, la combinación de sonidos era desagradable.

¿Por qué podría suceder esto? Pitágoras encontró un sentido místico a todo esto, y empezó a pensar en los números como entidades en sí mismas, es decir, empezó a pensar en el número dos, sin más, no en dos casas o dos sandalias, si no que en el número dos sin más.

Al sabio se le ocurrió empezar a representar los números como conjuntos de puntos. Así, el número 1 sería un único punto, 2 dos puntos... y le llamó la atención que con ciertos números podían ser representados por triángulos equiláteros.

Con un único punto podemos trazar en sus bordes un triángulo equilátero, si ponemos tres puntos en los vértices del mismo tendremos otro, igua sucede con el 6, con el 10, con el 15, con el 21... a todos estos números los llamó números triangulares.





Del mismo modo, observó que con otros números, podríamos hacer cuadrados. Estos números eran el 1, el 4, el 9, el 16, ¿veis ya por donde voy?

Pitágoras, o tal vez alguno de sus discípulos (pues sobre esto hay dudas), observaron también la relación entre estos números, y cuál no fue su sorpresa, ¡se podían obtener mediante unas sumas muy simples y muy evidentes! Dejadme que os ilustre. He aquí los números triangulares:



Fantástico, ¿verdad? Pero... ¿y los números cuadrados? ¿Existiría alguna "mágica" relación entre ellos? Pitágoras descubrió que también se podían obtener de una manera regular, en este caso sumando los números conocidos como "impares", por ejemplo:



Vaya, o sea, que estos números parecían seguir unas normas bien definidas. Qué bien. Qué bonito es descubrir la regularidad en las matemáticas.

También observó que los cuadrados también se podrían obtener sumando un número tantas veces como indicaba:




Es decir, cogiendo una vez el número 1, dos veces el número dos, tres veces el número tres... y así.


Los triángulos rectángulos

El interés de Pitágoras por los triángulos ya debe ser más que evidente. Fijémonos ahora en su interés en uno de los triángulos que manifiestan un gran orden: el triángulo rectángulo. Este triángulo es conocido por tener dos lados perpendiculares, esto es, formando un ángulo recto, vamos, como si fuese una estaca clavada en el suelo, la estaca forma un ángulo recto con el suelo. ¿sabéis de que hablo, no? Seguro que sí.



Imaginad a Pitágoras jugando en la arena de la playa con sus triángulos rectángulos. Se le ocurre trazar dos lados en la arena de la playa con una rama, uno de tres unidades de longitud, y el otro de cuatro unidades de longitud, y los une con otra línea. Tal vez para él, una unidad de longitud no era más que una concha de molusco. Dos unidades, dos veces la concha, tres unidades, tres veces...

Cuál no sería su sorpresa al descubrir que la longitud de la tercera línea era 5 conchas. Es decir, esto no es habitual. Cuando trazaba un lado con una longitud de una unidad y el otro de dos unidades de longitud, no parecía que ningún número "natural" surgiese en el lado más largo, conocido como hipotenusa.

Qué curioso. Sería de esperar que tuviese una longitud igual a tres. A estas alturas está claro que Pitágoras buscaba una relación entre estos números.

Lo que era más extraño, es que esto casi nunca sucedía, si coges por ejemplo, lados de dos y tres unidades de longitud, el tercer lado no mide cuatro. Vaya fastidio. Y si coges lados de cinco y seis, tampoco. Pero ¡atención! si te fijas en los cuadrados de de los números, es decir, en lugar de 3 y 4, coges 9 y 16 , ¡su suma da el cuadrado de cinco, 25!

Ya podéis imaginar a Pitágoras bailando de alegría en la playa, ¡había una regularidad!

Es decir, si sumaba el cuadrado de los lados de menor longitud, ¡obtenía el cuadrado del lado de mayor longitud!

O dicho de otra manera: el cuadrado de la suma de los catetos (lados de menor longitud), es igual al cuadrado del lado de mayor longitud (hipotenusa).



Os dejo esta demostración para que la penséis un poquito, ¿sabríais explicarla?





Imaginad  su alegría cuando descubrió que se cumplía para todos los triángulos rectángulos. Y ese fue el principio de una de las reglas matemáticas más importantes de todos los tiempos: una regla que se puede demostrar de otras muchas manera, por ejemplo, con agua.

No por nada Pitágoras es considerado uno de los más grandes matemáticos de la humanidad (si bien ha sido cuestionado por otros grandes científicos de la actualidad, como ni más ni menos que el famosísimo Stephen Hawking).

Fuente:

http://www.ojocientifico.com/4354/pitagoras-los-pitagoricos-y-muchos-triangulos

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Curiosidades desconocidas sobre Stephen Hawking





La historia de la ciencia está marcada por personas que, gracias a sus descubrimientos, cambiaron para siempre las formas de hacer las cosas y, una de ellas es Stephen Hawking.

Este inglés nacido en 1942, es famoso no sólo por sus descubrimientos en física, que ayudaron a formular y profundizar teorías como la del Big Bang, que explica el origen del universo, sino que también por llevar la ciencia a las masas, con explicaciones sencillas de hechos interesantes.

La mayoría lo conoce por sus libros y por su enfermedad, que lo tiene confinado en una silla de ruedas y con serios problemas para comunicarse, pero existen una serie de curiosidades que hacen de Hawking una verdadera leyenda.





Cosas que no sabías sobre Stephen Hawking

Nació el 8 de enero de 1942, justamente cuando se cumplían 300 años de la muerte de Galieo Galilei.
Tiene un coeficiente intelectual de 160, el mismo que Albert Einstein.
Stephen Hawking tuvo un rendimiento escolar deficiente en la escuela primaria, pero gracias a su puntaje perfecto en los exámenes de física, logró ser admitido con una beca en la prestigiosa Universidad de Oxford.
Su padre quería que fuera médico, pero Hawking consideraba que la biología era demasiado inexacta.
Hawking formó parte del equipo de remo en la Universidad de Oxford.
Su libro Breve Historia del Tiempo, estuvo entre los más vendidos de Inglaterra por 237 semanas, superando el record anterior de sólo 184 semanas.
Stephen Hawking escribió dos libros para niños en conjunto con su hija.
Apareció en un capítulo de la serie La Teoría del Big Bang y en tres episodios de Los Simpson.
Hawking ha estado casado y divorciado dos veces y tiene tres hijos.
La BBC lo incluyó en la lista de los 100 británicos más influyentes de la historia. Ocupa el lugar 25. Darwin está en el cuarto lugar, Newton en el sexto puesto y Fleming en el 20.
Pese a ser uno de los científicos más importantes del siglo, nunca ganó el Premio Nobel.



Su enfermedad

Si ves a Stephen Hawking, difícilmente imaginarías que su frágil estado le permitió llegar tal alto. A los 21 años fue diagnosticado con esclerosis lateral amiotrófica (ELM), que compromete el control muscular, pero no afecta su intelecto.

Los médicos le pronosticaron dos o tres años de vida, pero los sorprendió a todos y ya lleva 50 años sobreviviendo con la enfermedad, un verdadero récord que demuestra la fuerza que tiene su mente para controlar su cuerpo.




Hawking tiene una traqueotomía que le impide hablar y, para comunicarse, utiliza un sintetizador de voz avanzado que controla mediante una computadora, que registra el movimiento de su cara y rostro, tecnología con la que también mueve su silla de ruedas.

Impresionante. Un hombre que seguramente seguirá vigente en los próximos siglos, en los que sus estudios servirán para ir resolviendo los misterios del universo.

Fuente:

http://www.ojocientifico.com/4367/curiosidades-desconocidas-sobre-stephen-hawking

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